Bài tập 29, § 1

Cho k là một trường có đặc số $\neq 2$, A là vành đa thức $k[T]$ theo một bất định và $a, b$ là hai phần tử của k sao cho $a \neq 0, b \neq 0$ và $a \neq b$. Cho $K = k(T)$ là trường các phân thức của A và L, M là các mở rộng của K thu được bằng cách kề vào K lần lượt một nghiệm của $X^2 - T(T - a)$ và một nghiệm của $X^2 - T(T - b)$. Cho B, C là các bao đóng nguyên của A trong L và M tương ứng, là các A-môđun tự do sinh hữu hạn. Chứng minh rằng $L \otimes_K M$ là một trường, một mở rộng hữu hạn tách được của K, nhưng $B \otimes_A C$, được đồng nhất một cách chính tắc với một vành con của $L \otimes_K M$, không phải là bao đóng nguyên của A trong $L \otimes_K M$.