Exercice 29, § 1

Soient $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$, $A$ l’anneau de polynômes $k[T]$ à une indéterminée, $a, b$ deux éléments de $k$ tels que $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b$. Soient $K = k(T)$ le corps des fractions de $A$, $L, M$ les extensions de $K$ obtenues en adjoignant à $K$ respectivement une racine de $X^2 - T(T - a)$ et une racine de $X^2 - T(T - b)$. Soient $B, C$ les fermetures intégrales de $A$ dans $L$ et $M$ respectivement, qui sont des $A$-modules libres de type fini. Montrer que $L \otimes_K M$ est un corps, extension finie séparable de K, mais que B \otimes_A C, qui s’identifie canoniquement à un sous-anneau de L \otimes_K M, n’est pas la fermeture intégrale de A dans L \otimes_K M.