Bài tập 10, § 2

(a) Cho $A'$ là vành đa thức $\mathbf{Z}[X, Y]$ với hai bất định và cho $\sigma$ là tự đẳng cấu của $A'$ giữ $Y$ bất biến và sao cho $\sigma(X) = -X$; $\sigma$ và tự đẳng cấu đơn vị tạo thành một nhóm $\mathscr{G}$ gồm các tự đẳng cấu của $A'$ và vành các bất biến của $\mathscr{G}$ là $A = \mathbf{Z}[X^2, Y]$. Cho $p'$ là iđêan nguyên tố $A'(Y - 2X)$, $p = A \cap p'$; nhóm phân tích $\mathscr{G}^{\mathbf{Z}}(p')$ rút gọn về phần tử đơn vị. Chứng minh rằng $A/p$ và $A'/p'$ không đẳng cấu (xét các tích tenxơ của các vành này với $2/22$).

(b) Cho $K$ là một trường có đặc số $\neq 2$, $A'$ là vành đa thức $K[X, Y]$ và $\mathscr{G}$ là nhóm tự đẳng cấu của $A'$ gồm tự đẳng cấu đơn vị và $K[Y]$-tự đẳng cấu $\sigma$ của $A'$ sao cho $\sigma(X) = -X$; vành các bất biến $A$ của $\mathscr{G}$ là $K[X^2, Y]$. Cho $p'$ là iđêan nguyên tố $A'(X^3 - Y)$ của $A'$ và $p = A \cap p'$; nhóm phân tích $\mathscr{G}^{\mathbf{Z}}(p')$ rút gọn về phần tử đơn vị nhưng $A/p$ và $A'/p'$ không đẳng cấu.