Exercice 10, § 2

a) Soit $A'$ l’anneau de polynômes $\mathbf{Z}[X, Y]$ à deux indéterminées, et soit $\sigma$ l’automorphisme de $A'$ laissant invariant $Y$ et tel que $\sigma(X) = -X$; $\sigma$ et l’automorphisme identique forment un groupe $\mathscr{G}$ d’automorphismes de $A'$, et l’anneau des invariants de $\mathscr{G}$ est $A = \mathbf{Z}[X^2, Y]$. Soient $\mathfrak{p}'$ l’idéal premier $A'(Y - 2X)$, $\mathfrak{p} = A \cap \mathfrak{p}'$; le groupe de décomposition $\mathscr{G}^Z(\mathfrak{p}')$ est réduit à l’élément neutre. Montrer que $A/\mathfrak{p}$ et $A'/\mathfrak{p}'$ ne sont pas isomorphes (considérer les produits tensoriels de ces anneaux avec $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$).

b) Soient $K$ un corps de caractéristique $\neq 2$, $A'$ l’anneau de polynômes $K[X, Y]$, $\mathscr{G}$ le groupe d’automorphismes de $A'$ formé de l’identité et du $K[Y]$-automorphisme $\sigma$ de $A'$ tel que $\sigma(X) = -X$; l’anneau des invariants $A$ de $\mathscr{G}$ est $K[X^2, Y]$. Soient $\mathfrak{p}'$ l’idéal premier $A'(X^3 - Y)$ de $A'$ et $\mathfrak{p} = A \cap \mathfrak{p}'$; le groupe de décomposition $\mathscr{G}^Z(\mathfrak{p}')$ est réduit à l’élément neutre, mais $A/\mathfrak{p}$ et $A'/\mathfrak{p}'$ ne sont pas isomorphes.