Bài tập 13, § 2

(a) Cho $K$ là một trường có đặc số 0 và $n$ là iđêan của vành đa thức $K[X, Y, Z]$ sinh bởi $Y^2 - X^2 - X^3$. Chứng minh rằng $n$ là nguyên tố và miền nguyên $A = K[X, Y, Z]/n$ không đóng nguyên: nếu $x, y, z$ là các ảnh của $X, Y, Z$ trong $A$, phần tử $t = y/x$ của trường phân thức $L$ của $A$ là nguyên trên $A$ nhưng không thuộc $A$. Cho $A' \supseteq A$ là vành con $K[x, t, z]$ của $L$, nguyên trên $A$. Xét trong $A$ iđêan nguyên tố $p$ sinh bởi $xz - y$ và $z^2 - 1 - x$ và iđêan cực đại $q \supset p$ sinh bởi $x, y, z - 1$. Mặt khác, xét trong $A'$ iđêan cực đại $q'$ sinh bởi $x, t + 1$ và $z - 1$; chứng minh rằng $q'$ nằm trên $q$ nhưng không tồn tại iđêan nguyên tố $p' \subset q'$ của $A$ nằm trên $p$. (Xét một đồng cấu từ $A'/pA'$ vào một trường mở rộng của $K$ và chứng minh rằng ảnh của $q'$ qua một đồng cấu như vậy nhất thiết là 0.)

(b) Cho $A'$ là vành thương của vành đa thức $\mathbf{Z}[X]$ bởi iđêan $n$ sinh bởi $2X$ và $X^2 - X$; cho $x$ là ảnh của $X$ trong $A'$; $A'$ là nguyên trên $\mathbf{Z}$ nhưng số 2 là một ước của 0 trong $A'$. Cho $q'$ là iđêan nguyên tố của $A'$ sinh bởi 2 và $x - 1$; khi đó $q' \cap \mathbf{Z} = 2\mathbf{Z}$; nếu $p$ là iđêan nguyên tố (0) trong $\mathbf{Z}$, chứng minh rằng không tồn tại iđêan nguyên tố $p' \subset q'$ chứa trong $A'$ nằm trên $p$.

(c) Cho $K$ là một trường, $n$ là iđêan của vành đa thức $K[X, Y, Z]$ sinh bởi $X^2, XY, XZ, YZ - Y$ và $Z^2 - Z$, $A'$ là vành thương $K[X, Y, Z]/n$, $x, y, z$ là các ảnh của $X, Y, Z$ trong $A'$ và $A$ là vành con $K[x, y]$ của $A'$; $A$ là đóng nguyên trong vành phân thức toàn thể của nó và $A'$ là nguyên trên $A$. Xét trong $A$ iđêan nguyên tố $p$ sinh bởi $x$ và iđêan cực đại $q$ sinh bởi $x$ và $y$. Mặt khác, xét trong $A$ iđêan cực đại $q'$ sinh bởi $x, y, z$; hãy chứng minh rằng $q'$ nằm trên $q$ nhưng không tồn tại iđêan nguyên tố nào $p' \subset q'$ nằm trên $p$ (cùng phương pháp như trong (a)).

Diễn giải các ví dụ trong (a) và (c) về mặt hình học. \*