Exercice 13, § 2

a) Soient K un corps de caractéristique 0, n l’idéal de l’anneau de polynômes K[X, Y, Z] engendré par Y² — X² — X³. Montrer que n est premier, et que l’anneau intègre A = K[X, Y, Z]/n n’est pas intégralement clos : si x, y, z sont les images de X, Y, Z dans A, l’élément t = y/x du corps des fractions L de A est entier sur A mais n’appartient pas à A. Soit A' ⊃ A le sous-anneau K[x, t, z] de L, qui est entier sur A. On considère dans A l’idéal premier p engendré par xz — y et z² — 1 — x, et l’idéal maximal q ⊃ p engendré par x, y, z — 1. On considère d’autre part dans A’ l’idéal maximal q’ engendré par x, t + 1 et z — 1 ; montrer que q’ est au-dessus de q mais qu’il n’existe aucun idéal premier p' ⊂ q’ de A’ au-dessus de p. (Considérer un homomorphisme de A'/pA’ dans un surcorps de K et montrer que l’image de q’ pour un tel homomorphisme est nécessairement 0.)

b) Soit A’ l’anneau quotient de l’anneau de polynômes Z[X] par l’idéal n engendré par 2X et X² — X ; soit x l’image de X dans A’ ; A’ est entier sur Z mais le nombre 2 est diviseur de 0 dans A’. Soient q’ l’idéal premier de A’ engendré par 2 et x — 1 ; on a q’ ∩ Z = 2Z ; si p est l’idéal premier (0) dans Z, montrer qu’il n’existe aucun idéal premier p' ⊂ q’ dans A’ qui soit au-dessus de p.

c) Soient K un corps, n l’idéal de l’anneau de polynômes K[X, Y, Z] engendré par X², XY, XZ, YZ — Y et Z² — Z, A’ l’anneau quotient K[X, Y, Z]/n, x, y, z les images de X, Y, Z dans A’, A le sous-anneau K[x, y] de A’ ; A est intégralement fermé dans son anneau total des fractions, et A’ est entier sur A. On considère dans A l’idéal premier p engendré par x et l’idéal maximal q engendré par x et y. On considère d’autre part dans A’ l’idéal maximal q’ engendré par x, y, z ; montrer que q’ est au-dessus de q ; mais qu’il n’existe aucun idéal premier p' ⊂ q’ au-dessus de p (même méthode que dans a)).

\* Interpréter géométriquement les exemples de a) et c).*