Bài tập 17, § 2

(a) Cho $K$ là một trường vô hạn, $E$ là một mở rộng đại số tách được hữu hạn của $K$ và $g$ là một đa thức của $K[X]$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $x \in E$ sao cho $E = K(x)$ và đa thức tối tiểu của $x$ trên $K$ nguyên tố cùng nhau với $g$ (lập luận như trong Đại số, Chương V, § 7, no. 7, Mệnh đề 12).

(b) Cho $k$ là một trường, $A$ là một $k$-đại số nguyên sơ (Chương IV, § 2, Bài tập 32) và $m$ là iđêan nguyên tố duy nhất của nó. Nếu $A/m$ là một mở rộng siêu việt của $k$, thì trong $A$ tồn tại các phần tử không đại số trên $k$. Nếu $A/m$ là đại số trên $k$ và $d$ là một số nguyên bằng ít nhất nhân tử tách được của bậc của $A/m$ trên $k$ (và do đó là bất kỳ số nguyên nào nếu nhân tử tách được này là vô hạn), chứng minh rằng trong $A$ tồn tại các phần tử mà đa thức tối tiểu trên $k$ có bậc $\geq d$. Nếu thêm nữa $A/m$ không tách được trên $k$ hoặc $m \neq 0$, thì trong $A$ tồn tại một phần tử mà đa thức tối tiểu trên $k$ có bậc $> d$. (Nếu $A/m$ không tách được trên $k$, sử dụng Đại số, Chương V, § 8, Bài tập 5. Nếu $A/m$ tách được và có bậc $d$ trên $k$ và $x \in A$ sao cho $\xi \in A/m$, lớp của $x$, là một phần tử nguyên thủy của $A/m$, có đa thức tối tiểu là $f \in k[X]$, nhận xét rằng $f'(\xi) \neq 0$ và suy ra rằng, nếu $y \neq 0$ là một phần tử của $m$, thì $f(x + y) \neq 0$.)

(c) Cho $k$ là một trường vô hạn và $A$ là một $k$-đại số là hợp thành trực tiếp của $r$ đại số nguyên sơ $A_i$, $(1 \leq i \leq r)$; cho $m_i$ là iđêan cực đại của $A_i$, và $d_i$ là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng nhân tử tách được của bậc của $A_i/m_i$ trên $k$ nếu $A_i$ là đại số và nhân tử này là hữu hạn, hoặc là một số nguyên tùy ý trong trường hợp ngược lại. Chứng minh rằng tồn tại trong $A$ một phần tử không đại số trên $k$ hoặc có đa thức tối tiểu trên $k$ có bậc $\geq \sum_{i=1}^r d_i$; nếu thêm nữa một trong các $m_i$ là $\neq 0$ hoặc một trong các trường $A_i/m_i$ không phải là một mở rộng đại số tách được của $k$, thì tồn tại trong $A$ một phần tử không đại số trên $k$ hoặc có đa thức tối tiểu trên $k$ có bậc $> \sum_{i=1}^r d_i$ (dùng (a) và (b)).