Exercice 17, § 2

a) Soient K un corps infini, E une extension algébrique séparable de K, de degré fini, g un polynôme de K[X]. Montrer qu’il existe un élément $x \in E$ tel que $E = K(x)$ et que le polynôme minimal de $x$ sur K soit étranger à g (raisonner comme dans Alg., chap. V, § 7, no 7, prop. 12).

b) Soient $k$ un corps, A une $k$-algèbre primaire (chap. IV, § 2, exerc. 32), m son unique idéal premier. Si $A/m$ est une extension transcendante de $k$, il existe dans A des éléments non algébriques sur $k$. Si $A/m$ est algébrique sur $k$ et si $d$ est un entier au plus égal au facteur séparable du degré de $A/m$ sur $k$ (donc un entier quelconque si ce facteur séparable est infini), montrer qu’il existe dans A des éléments dont le polynôme minimal sur $k$ est de degré $\geq d$. Si de plus $A/m$ n’est pas séparable sur $k$, ou si $m \neq 0$, il existe dans A un élément dont le polynôme minimal sur $k$ est de degré $> d$. (Lorsque $A/m$ n’est pas séparable sur $k$, utiliser Alg., chap. V, § 8, exerc. 5. Si $A/m$ est séparable et de degré $d$ sur $k$, et si $x \in A$ est tel que $\xi \in A/m$, classe de $x$, soit un élément primitif de $A/m$, dont $f \in k[X]$ est le polynôme minimal, observer que $f'(\xi) \neq 0$ et en déduire que si $y \neq 0$ est un élément de $m$, on a $f(x + y) \neq 0$.)

c) Soient $k$ un corps infini, A une $k$-algèbre composée directe de r algèbres primaires $A_i$ ($1 \leq i \leq r$); soient $m_i$ l’idéal maximal de $A_i$, $d_i$ un entier au plus égal au facteur séparable du degré de $A_i/m_i$ sur $k$ si $A_i$ est algébrique et si ce facteur est fini, un entier arbitraire dans le cas contraire. Montrer qu’il existe dans A un élément qui est non algébrique sur $k$ ou dont le polynôme minimal sur $k$ est de degré

si en outre un des $m_i$ est $\neq 0$, ou si un des corps $A_i/m_i$ n’est pas une extension algébrique séparable de $k$, il existe dans $A$ un élément non algébrique sur $k$ ou dont le polynôme minimal sur $k$ est de degré $> \sum_{i=1}^r d_i$ (utiliser $a$ et $b$).