Bài tập 7, § 2

Cho $A$ là một miền nguyên Noether và $A'$ là bao đóng nguyên của nó. Chứng minh rằng với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$ chỉ tồn tại một số hữu hạn iđêan nguyên tố của $A'$ nằm trên $p$. (Trước hết hãy rút gọn về trường hợp $A$ là một vành địa phương với iđêan cực đại $p$; xét phần đầy đủ của nó $\hat{A}$ và vành toàn thể các phân thức $B$ của $\hat{A}$ và chú ý rằng trường các phân thức $K$ của $A$ được đồng nhất với một vành con của $B$ (Chương III, § 3, no. 4, Hệ quả 2 của Định lý 3). Chú ý rằng phổ của $B$ là hữu hạn và do đó trong $B$ chỉ có một số hữu hạn phần tử lũy đẳng trực giao từng đôi một. Khi đó cho $C \supseteq A$ là một vành con của $K$, là một A-môđun sinh hữu hạn và do đó là nửa địa phương. Chú ý rằng phần đầy đủ $\hat{C}$ của $C$ được đồng nhất với một vành con của $B$; kết luận bằng cách chú ý rằng $\hat{C}$ là tích của một số hữu hạn vành địa phương, số này bằng số các iđêan cực đại của $C$). Tổng quát hóa cho bao đóng nguyên của một vành Noether trong vành toàn thể các phân thức của nó (rút gọn về trường hợp của một vành giảm).