Exercice 7, § 2

Soient A un anneau noethérien intègre, A’ sa clôture intégrale. Montrer que pour tout idéal premier $p$ de A, il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux premiers de A’ au-dessus de $p$. (Se ramener d’abord au cas où A est un anneau local d’idéal maximal $p$; considérer son complété $\hat{A}$ et l’anneau total des fractions B de $\hat{A}$, et noter que le corps des fractions $K$ de $A$ s'identifie à un sous-anneau de $B$ (chap. III, , no 4, cor. 2 du th. 3). Remarquer que le spectre de $B$ est fini, et par suite que dans $B$ il n'y a qu'un nombre fini d'idempotents orthogonaux deux à deux. Soit alors $C \supseteq A$ un sous-anneau de $K$ qui soit un $A$-module de type fini, donc semi-local. Remarquer que le complété $\hat{C}$ de $C$ s'identifie à un sous-anneau de $B$; conclure en notant que $\hat{C}$ est un produit d'un nombre fini d'anneaux locaux, ce nombre étant égal au nombre des idéaux maximaux de $C$. Généraliser à la fermeture intégrale d'un anneau noethérien dans son anneau total de fractions (se ramener au cas d'un anneau réduit)