Cho k0 là một trường và A′ là vành đa thức k0[Xn]n∈N theo một dãy vô hạn các bất định; nó là một miền nguyên đóng có trường các phân thức là K′=k0(Xn)n∈N. Ký hiệu σ là tự đẳng cấu k0 của A′ sao cho
σ(X2n)=−X2n+X2n+1,σ(X2n+1)=X2n+1 với mọi
n≥0;
σ và tự đẳng cấu đồng nhất tạo thành một nhóm
G gồm các tự đẳng cấu của
A′. Cho
A là vành các bất biến của
G và cho
K là trường các phân thức của nó;
K′ là một mở rộng tách được của
K có bậc 2 và
A′ là bao đóng nguyên của
A trong
K′.
(a) Chứng minh rằng A′ là một A-môđun có một cơ sở vô hạn. (Nếu k0 có đặc số =2, chứng minh rằng, nếu ta viết Yn=X2n−21X2n+1, A là vành con của A′ sinh bởi các X2n+1 và các tích YnYm với n>0,m≥0. Nếu k0 có đặc số 2, A′ được sinh bởi các Xn,+1 và
X2n2+X2nX2n+1 với
n≥0.)
(b) Cho m′ là iđêan cực đại của A′ sinh bởi tất cả các Xn và cho m=A∩m′; chứng minh rằng m′=mA′, rằng m′ là iđêan duy nhất của A′ nằm trên m và rằng các trường A/m và A′/m′ là đẳng cấu chính tắc.
(c) Cho p′ là iđêan nguyên tố của A′ sinh bởi các X2n+1 với n≥0 và cho p=p′∩A; cho k,k′ lần lượt là các trường phân thức của A/p và A′/p′; p′ là iđêan nguyên tố duy nhất của A′ nằm trên p. Nếu k0 không có đặc số 2, k′ là một mở rộng tách được của k có bậc 2; nếu k0 có bậc 2, k′ là một mở rộng thuần bất khả phân vô hạn của k.