Exercice 9, § 2

Soient $k_0$ un corps, $A'$ l’anneau de polynômes $k_0[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ par rapport à une suite infinie d’indéterminées; c’est un anneau intégralement clos dont le corps des fractions est $K' = k_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$. On désigne par $\sigma$ le $k_0$-automorphisme de $A'$ tel que

pour tout $n \geq 0$; $\sigma$ et l’automorphisme identique forment un groupe $G$ d’automorphismes de $A'$. Soit $A$ l’anneau des invariants de $G$, et soit $K$ son corps des fractions; $K'$ est une extension séparable de degré 2 de $K$ et $A'$ la fermeture intégrale de $A$ dans $K'$.

a) Montrer que $A'$ est un $A$-module admettant une base infinie. (Si $k_0$ est de caractéristique $\neq 2$, montrer que, si l’on pose $Y_n = X_{2n} - \frac{1}{2}X_{2n+1}$, $A$ est le sous-anneau de $A'$ engendré par les $X_{2n+1}$ et les produits $Y_n Y_m$ pour $n \geq 0, m \geq 0$. Si $k_0$ est de caractéristique 2, $A'$ est engendré par les $X_{2n+1}$ et les $X_{2n}^2 + X_{2n} X_{2n+1}$ pour $n \geq 0$).

b) Soit $m'$ l’idéal maximal de $A'$ engendré par tous les $X_n$, et soit $m = A \cap m'$; montrer que l’on a $m' = mA'$, que $m'$ est le seul idéal de $A'$ au-dessus de $m$ et que les corps $A/m$ et $A'/m'$ sont canoniquement isomorphes.

c) Soit $p'$ l’idéal premier de $A'$ engendré par les $X_{2n+1}$ pour $n \geq 0$, et soit $p = p' \cap A$; soient $k, k'$ les corps des fractions de $A/p$ et $A'/p'$ respectivement; $p'$ est le seul idéal premier de $A'$ au-dessus de $p$. Si $k_0$ n’est pas de caractéristique 2, $k'$ est une extension séparable de degré 2 de $k$; si $k_0$ est de caractéristique 2, $k'$ est une extension radicielle de degré infini de $k$.