Bài tập 1, § 3

Cho $A$ là một vành, $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của $A$, $B$ là một $A$-đại số sinh hữu hạn và cho $r_1 \subset \ldots \subset r_m$ là một dãy tăng không rỗng các iđêan của $B$ nằm trên $\mathfrak{p}$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $a \in A - \mathfrak{p}$ và một họ hữu hạn $(y_k)_{1 \leq k \leq q}$ các phần tử của $B$ có các tính chất sau:

(1) Nếu ta viết $B' = A[y_1, \ldots, y_q]$ và nếu $S$ là tập hợp các lũy thừa của $a$, vành $S^{-1}B$ là nguyên trên $S^{-1}B'$.

(2) Với mọi $i$ sao cho $1 \leq i \leq m$ tồn tại một số nguyên $h(i) \geq 0$ sao cho $r_i$ chứa $y_1, \ldots, y_{h(i)}$ và với mọi đa thức $P \in A[X_{h(i)+1}, \ldots, X_q]$ quan hệ $P(y_{h(i)+1}, \ldots, y_r) \in r_i$ kéo theo rằng tất cả các hệ số của $P$ thuộc về $\mathfrak{p}$.

Iđêan $r_i \cap B'$ khi đó được sinh bởi $\mathfrak{p}$ và các $y_k$ sao cho $k \leq h(i)$. (Lập luận bằng quy nạp theo $m$, do đó quy về trường hợp $m = 1$. Sau đó đặt $c = r_1a$; lập luận bằng quy nạp theo số $n$ các phần tử sinh của $A$-đại số $B$. Cho $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ các phần tử sinh như vậy và cho $s$ là iđêan của $A[X_1, \ldots, X_n]$ gồm các $P$ sao cho $P(x_1, \ldots, x_i) \in c$; khi đó $s \supseteq \mathfrak{p}A[X_1, \ldots, X_n]$; phân biệt hai trường hợp tùy theo $s$ có bằng hay không bằng $\mathfrak{p}A[X_1, \ldots, X_n]$. Trong trường hợp thứ hai, tồn tại một đa thức $Q \in A[X_1, \ldots, X_n]$ mà không có hệ số nào của nó thuộc $\mathfrak{p}$ và thuộc về $B$. Chứng minh rằng có thể xác định các số nguyên $m_i$ ($2 \leq i \leq n$) sao cho, nếu ta viết $x'_i = Q(x_1, \ldots, x_n), x'_i = x_i - x_1^{m_i}$ ($2 \leq i \leq n$), tồn tại một phần tử $b \in A - \mathfrak{p}$ sao cho $bx_1$ là nguyên trên $C = A[x'_2, \ldots, x'_n]$; áp dụng giả thiết quy nạp cho $A$-đại số

và iđêan $c \cap B_1$.