Exercice 1, § 3

Soient $A$ un anneau, $p$ un idéal premier de $A$, $B$ une $A$-algèbre de type fini, et soit $r_1 \subset \cdots \subset r_m$ une suite croissante non vide d’idéaux de $B$ au-dessus de $p$. Montrer qu’il existe un élément $a \in A - p$, et une famille finie $(y_k)_{1 \leq k \leq q}$ d’éléments de $B$, ayant les propriétés suivantes :

1° Si l’on pose $B' = A[y_1, \ldots, y_q]$, et si $S$ est l’ensemble des puissances de $a$, l’anneau $S^{-1}B$ est entier sur $S^{-1}B'$.

2° Pour tout $i$ tel que $1 \leq i \leq m$, il existe un entier $h(i) \geq 0$ tel que $r_i$ contienne $y_1, \ldots, y_{h(i)}$ et que pour tout polynôme $P \in A[X_{h(i)+1}, \ldots, X_q]$, la relation $P(y_{h(i)+1}, \ldots, y_q) \in r_i$ entraîne que tous les coefficients de $P$ appartiennent à $p$.

L’idéal $r_i \cap B'$ est alors engendré par $p$ et par les $y_k$ tels que $k \leq h(i)$. (Raisonner par récurrence sur $m$, se ramenant ainsi au cas $m = 1$. Soit alors $r = r_1$; raisonner par récurrence sur le nombre $n$ des générateurs de la $A$-algèbre $B$. Soit $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ un tel système de générateurs, et soit $s$ l’idéal de $A[X_1, \ldots, X_n]$ formé des $P$ tels que $P(x_1, \ldots, x_n) \in r$; on a $s \supset pA[X_1, \ldots, X_n]$; distinguer deux cas suivant que $s$ est ou non égal à $pA[X_1, \ldots, X_n]$. Dans le second cas, il y a un polynôme $Q \in A[X_1, \ldots, X_n]$ dont aucun coefficient $\neq 0$ n’est dans $p$ et qui appartient à $s$. Montrer qu’on peut déterminer des entiers $m_i (2 \leq i \leq n)$ tels que si l’on pose $x'_1 = Q(x_1, \ldots, x_n)$, $x'_i = x_i - {x'_1}^{m_i} (2 \leq i \leq n)$, il existe un élément $b \in A - p$ pour lequel $bx_1$ soit entier sur $C = A[x'_2, \ldots, x'_n]$; appliquer l’hypothèse de récurrence à la $A$-algèbre $B_1 = A[x'_2, \ldots, x'_n]$ et à l’idéal $r \cap B_1$.)