Bài tập 10, § 3

Cho $k$ là một trường, $L$ là một tập vô hạn, $A$ là vành đa thức $k[X_\lambda]_{\lambda \in L}$. Nếu $k_0$ là trường nguyên tố được chứa trong $k$, ký hiệu $b$ là lực lượng của một cơ sở siêu việt của $k$ trên $k_0$, và đặt $c = \mathrm{Card}(L)$.

a) Với mọi iđêan $a$ của $A$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một hệ sinh $S$ của $a$ sao cho $\mathrm{Card}(S) \leq c$. (Xét các giao của $a$ và các vành con $k[X_\lambda]_{\lambda \in J}$ với các tập con hữu hạn $J$ của $L.$

b) Giả sử rằng $c < b$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $m$ là một iđêan cực đại của $A$, thì $A/m$ là một mở rộng đại số của $k$. (Gọi $K$ là trường con của $k$ được sinh trên $k_0$ bởi các hệ số của các đa thức tạo thành một hệ sinh của $m$, có lực lượng $\leq c$; đặt $m_0 = m \cap K[X_\lambda]_{\lambda \in L}$, sao cho ta có $m = m_0 \otimes_K k$, và $A/m = (K[X_\lambda]_{\lambda \in L}/m_0) \otimes_K k$. Cuối cùng nhận xét rằng tồn tại một $K$-đẳng cấu từ trường phân thức của $K[X_\lambda]_{\lambda \in L}/m_0$ vào một bao đóng đại số của $k.$) Suy ra rằng khi đó $A$ là một vành Jacobson (dùng exerc. 8).

c) Giả sử rằng $b < c$; khi đó $\mathrm{Card}(k) \leq c$, do đó tồn tại một song ánh $\lambda \to \xi_\lambda$ của một tập con $L'$ của $L$ lên $k$, $L'$ có phần bù khác rỗng trong $L$. Cho $\lambda_0 \in L - L'$; bây giờ chứng minh rằng tồn tại một $k$-đồng cấu $u$ của $A$ lên một trường con của trường phân thức hữu tỉ $k(Y)$ sao cho $u(X_{\lambda_0}) = Y, u(X_\lambda) = 1/(Y - \xi_\lambda)$ với $\lambda \in L'$, $u(X_\lambda) = 0$ với $\lambda \in L - (L' \cup \{\lambda_0\})$; nếu $m$ là hạt nhân của $u$, thì $A/m$ do đó không phải là một mở rộng đại số của $k$.

d) Với cùng các giả thiết như trong c), bây giờ chứng minh rằng $A$ không phải là một vành Jacobson. (Chú ý rằng tồn tại các $k$-đại số $B$ không phải là các vành Jacobson (chẳng hạn các vành địa phương) sao cho $\mathrm{Card}(B) = b.$)