Exercice 10, § 3

Soient $k$ un corps, $L$ un ensemble infini, $A$ l’anneau de polynômes $k[X_\lambda]_{\lambda \in L}$. Si $k_0$ est le corps premier contenu dans $k$, on désigne par $b$ le cardinal d’une base de transcendance de $k$ sur $k_0$, et l’on pose $c = \mathrm{Card}(L)$.

a) Pour tout idéal $a$ de $A$, montrer qu’il existe un système de générateurs $S$ de $a$ tel que $\mathrm{Card}(S) \leq c$. (Considérer les intersections de $a$ et des sous-anneaux $k[X_\lambda]_{\lambda \in J}$ pour les parties finies $J$ de $L.$

b) On suppose que $c < b$. Montrer que si $m$ est un idéal maximal de $A$, $A/m$ est une extension algébrique de $k$. (Soit $K$ le sous-corps de $k$ engendré sur $k_0$ par les coefficients des polynômes formant un système de générateurs de $m$, de cardinal $\leq c$; soit $m_0 = m \cap K[X_\lambda]_{\lambda \in L}$, de sorte que l’on a $m = m_0 \otimes_K k$, et $A/m = (K[X_\lambda]_{\lambda \in L}/m_0) \otimes_K k$. Remarquer enfin qu’il existe un $K$-isomorphisme du corps des fractions de $K[X_\lambda]_{\lambda \in L}/m_0$ dans une clôture algébrique de $k.$) En déduire que $A$ est alors un anneau de Jacobson (utiliser l’exerc. 8).

c) On suppose que $b < c$; alors $\mathrm{Card}(k) \leq c$, de sorte qu’il existe une bijection $\lambda \to \xi_\lambda$ d’une partie $L'$ de $L$ sur $k, L'$ ayant un complémentaire non vide dans $L$. Soit $\lambda_0 \in L - L'$; montrer qu’il existe un $k$-homomorphisme $u$ de $A$ sur un sous-corps du corps des fractions rationnelles $k(Y)$ tel que $u(X_{\lambda_0}) = Y, u(X_\lambda) = 1/(Y - \xi_\lambda)$ pour $\lambda \in L'$, $u(X_\lambda) = 0$ pour $\lambda \in L - (L' \cup \{\lambda_0\})$; si $m$ est le noyau de $u$, $A/m$ n’est donc pas une extension algébrique de $k$.

d) Sous les mêmes hypothèses que dans c), montrer que $A$ n’est pas un anneau de Jacobson. (Noter qu’il existe des $k$-algèbres $B$ qui ne sont pas des anneaux de Jacobson (par exemple des anneaux locaux) telles que $\mathrm{Card}(B) = b.$)