Bài tập 3, § 3

Cho K là một trường vô hạn, L là một trường mở rộng của K, $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các phần tử của L và $d$ là bậc siêu việt của $K(x_1, \ldots, x_n)$ trên K. Chứng minh rằng tồn tại $d$ phần tử $z_j = \sum_{i=1}^n a_{ji} x_i$ của L (trong đó các $a_{ji} \in K$) sao cho $K[x_1, \ldots, x_n]$ là nguyên trên $K[z_1, \ldots, z_d]$. Nếu giả sử thêm rằng $K(x_1, \ldots, x_n)$ là một mở rộng tách được của K, hãy chứng minh rằng có thể chọn các $a_{ji}$ sao cho các $z_j$ tạo thành một cơ sở siêu việt tách được của $K(x_1, \ldots, x_n)$ trên K (lập luận bằng quy nạp theo $n$ khi $n > d$).