Exercice 3, § 3

Soient $K$ un corps infini, $L$ un surcorps de $K$, $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’éléments de L, $d$ le degré de transcendance de $K(x_1, \ldots, x_n)$ sur $K$. Montrer qu’il existe $d$ éléments $z_j = \sum_{i=1}^n a_{ji} x_i$ de L (où les $a_{ji} \in K$) tels que $K[x_1, \ldots, x_n]$ soit entier sur $K[z_1, \ldots, z_d]$. Si l’on suppose de plus que $K(x_1, \ldots, x_n)$ est une extension séparable de $K$, montrer qu’on peut prendre les $a_{ji}$ tels que les $z_j$ forment une base de transcendance séparante de $K(x_1, \ldots, x_n)$ sur $K$ (raisonner par récurrence sur $n$ lorsque $n > d$).