Bài tập 5, § 3

Cho A là một miền nguyên và $B \supseteq A$ là một vành con của trường các phân thức K của A; giả sử rằng A đóng nguyên trong B và B chứa một phần tử $t$ sao cho B là một $A[t]$-môđun sinh hữu hạn.

(a) Cho F là một đa thức $\neq 0$ của $A[X]$ sao cho $F(t)$ thuộc căn dẫn f của B đối với $A[t]$; chứng minh rằng, nếu c là hệ số trội của F, thì c thuộc căn của f. (Bằng cách xét các vành $A[c^{-1}]$ và $B[c^{-1}]$, rút gọn về việc chứng minh rằng, nếu $c = 1$, thì tất nhiên $B = A[t]$. Mặt khác ta có thể giả sử rằng $F(t) \neq 0$, nếu không thì $t \in A$. Với mọi $x \in B$, theo giả thiết

trong đó Q và R là các đa thức trong $A[X]$ và $\deg(R) < \deg(F)$; có thể chỉ xét trường hợp $R(t) \neq 0$; nếu $y = R(t)(F(t))^{-1} = x - Q(t)$, chứng minh rằng $t$ là nguyên trên $A[y^{-1}]$ và suy ra rằng y là nguyên trên A.)

(b) Giả sử thêm rằng A là Noether; cho q là một iđêan nguyên tố của B thuộc về $\operatorname{Ass}(B/f)$. Chứng minh rằng, nếu $\omega$ là đồng cấu chính tắc từ B vào trường các phân thức của $B/q$, thì $\omega(t)$ là siêu việt trên trường các phân thức của $A/(q \cap A)$. (Nếu $p = q \cap A[t]$, có một phần tử $y \in B$ sao cho q là tập hợp các $z \in B$ mà $zy \in f$; chứng minh rằng p là căn dẫn của $B = A[t] + By$ đối với $A[t]$. Sau đó lập luận bằng reductio ad absurdurn sử dụng (a).)

(c) Giả sử rằng A là Noether. Cho n là một iđêan cực đại của B và $p = A \cap n$. Chứng minh rằng, nếu $A_p \neq B_n$, thì tồn tại một iđêan nguyên tố của B được chứa trong n, phân biệt với n và chứa p. (Cho f là căn dẫn của B đối với $A[t]$. Trước hết giả sử rằng $n \supset f$; xét một phần tử cực tiểu q trong tập hợp các iđêan nguyên tố của B được chứa trong n và chứa f; xét ảnh chính tắc của A trong $B/q$ và sử dụng (b) và Bài tập 4. Nếu $n \not\subset f$, vành địa phương $B_n$ bằng vành địa phương $A[t]_{n_1}$, trong đó $n_1 = n \cap A[t]$ (§ 1, Bài tập 16). Nếu $t \in A_p$, chứng minh rằng $A_p = B_{n'}$. Ngược lại nếu $A_p \neq B_{n'}$, suy ra từ § 2, Bài tập 14 (c) rằng $pA_p[t]$ là một iđêan nguyên tố không cực đại của $A_p[t]$ và kết luận rằng $pB_n$ là một iđêan nguyên tố của $B_n$ phân biệt với $nB_n$.