Exercice 5, § 3

Soient A un anneau intègre, $B \supseteq A$ un sous-anneau du corps des fractions K de A; on suppose que A est intégralement fermé dans B, et que B contient un élément $t$ tel que B soit un $A[t]$-module de type fini.

a) Soit F un polynôme $\neq 0$ de $A[X]$ tel que $F(t)$ appartienne au conducteur $f$ de B par rapport à $A[t]$; montrer que si c est le coefficient dominant de F, c appartient à la racine de f. (En considérant les anneaux $A[c^{-1}]$ et $B[c^{-1}]$, se ramener à montrer que lorsque $c = 1$, on a nécessairement $B = A[t]$. On peut d’autre part supposer $F(t) \neq 0$, sans quoi $t \in A$. Pour tout $x \in B$, on a par hypothèse

où Q et R sont des polynômes de $A[X]$ et $\deg(R) < \deg(F)$; on peut se borner au cas où $R(t) \neq 0$; si $y = R(t)(F(t))^{-1} = x - Q(t)$, montrer que $t$ est entier sur $A[y^{-1}]$ et en déduire que $y$ est entier sur A.)

b) On suppose en outre que A soit noethérien; soit $q$ un idéal premier de B appartenant à $\operatorname{Ass}(B/f)$. Montrer que si $w$ est l’homomorphisme canonique de B dans le corps des fractions de $B/q$, $w(t)$ est transcendant sur le corps des fractions de $A/(q \cap A)$. (Si $\mathfrak{p} = q \cap A[t]$, il y a un élément $y \in B$ tel que $q$ soit l’ensemble des $z \in B$ pour lesquels $zy \in f$; montrer que $\mathfrak{p}$ est le conducteur de $B' = A[t] + By$ par rapport à $A[t]$. Raisonner alors par l’absurde en utilisant a.)

c) On suppose que A soit noethérien. Soient $\mathfrak{n}$ un idéal maximal de B et $\mathfrak{p} = A \cap \mathfrak{n}$. Montrer que si $A_p \neq B_n$, il existe un idéal premier de B contenu dans $\mathfrak{n}$, distinct de $\mathfrak{n}$ et contenant $\mathfrak{p}$. (Soit $f$ le conducteur de B par rapport à $A[t]$. Supposons d’abord que $\mathfrak{n} \supseteq f$; considérer un élément minimal $q$ dans l’ensemble des idéaux premiers de B contenus dans $\mathfrak{n}$ et contenant $f$; considérer l’image canonique de A dans $B/q$ et utiliser b) et l’exerc. 4. Si $\mathfrak{n} \not\supseteq f$, l’anneau local $B_n$ est égal à l’anneau local $A[t]_{n_1}$, où $n_1 = \mathfrak{n} \cap A[t]$ ($§ 1$, exerc. 16).

Si $t \in A_p$, montrer que $A_p = B_n$. Si au contraire $A_p \neq B_n$, déduire du , exerc. 14 c) que $pA_p[t]$ est un idéal premier non maximal de $A_p[t]$, et en conclure que $pB_n$ est un idéal premier de $B_n$ distinct de $nB_n$