Bài tập 6, § 3

Một miền nguyên $A$ được gọi là Noether nguyên nếu nó là Noether và nếu, với mọi dãy hữu hạn $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ các phần tử của một trường mở rộng của trường phân thức của $A$, đóng nguyên của $A[t_1, \ldots, t_n]$ là một $A[t_1, \ldots, t_n]$-môđun sinh hữu hạn. Mọi đại số nguyên sinh hữu hạn trên một trường đều là một miền Noether nguyên (no. 2, Định lý 2).

(a) Mọi đại số nguyên sinh hữu hạn trên một miền Noether nguyên đều là một miền Noether nguyên. Mọi vành phân thức của một miền Noether nguyên không thu gọn về 0 đều là một miền Noether nguyên.

(b) Cho $A$ là một miền Noether nguyên $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ một dãy hữu hạn các phần tử của một trường mở rộng của trường phân thức $K$ của $A$ và $B$ là một vành con của $K(t_1, \ldots, t_n)$ chứa $A$ và nguyên trên $A$. Khi đó $B$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. (Chú ý rằng trường phân thức của $B$ là một mở rộng đại số hữu hạn của $K$, dùng Đại số, chương V, § 5, no. 7.)