Exercice 6, § 3

On dit qu’un anneau $A$ est intégralement noethérien s’il est intègre, noethérien, et si pour toute suite finie $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’éléments d’un surcorps du corps des fractions de $A$, la clôture intégrale de $A[t_1, \ldots, t_n]$ est un $A[t_1, \ldots, t_n]$-module de type fini. Toute algèbre intègre de type fini sur un corps est un anneau intégralement noethérien (no 2, th. 2).

a) Toute algèbre intègre de type fini sur un anneau intégralement noethérien est un anneau intégralement noethérien. Tout anneau de fractions d’un anneau intégralement noethérien, non réduit à 0, est intégralement noethérien.

b) Soient $A$ un anneau intégralement noethérien, $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie d’éléments d’un surcorps du corps des fractions $K$ de $A$, $B$ un sous-anneau de $K(t_1, \ldots, t_n)$ contenant $A$ et entier sur $A$. Alors $B$ est un $A$-module de type fini. (Remarquer que le corps des fractions de $B$ est une extension algébrique de degré fini de $K$, en utilisant Alg., chap. V, § 5, no 7.)