Bài tập 1, § 3

Đại số giao hoán, VI, 446

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

(a) Cho L là một trường và T là một phần tử bất định; trong trường các chuỗi lũy thừa hình thức $L((T))$ , xét chuỗi

s = c_0 + c_1 T^{1!} + c_2 T^{2!} + \ldots + c_n T^{n!} + \ldots

trong đó các $c_i \in L$ đều $\neq 0$ . Chứng minh rằng s là siêu việt trên trường con $L(T)$ của $L((T))$ . (Lập luận bằng phép phản chứng, giả sử rằng tồn tại một quan hệ $a_0(T) + a_1(T)s + \ldots + a_q(T)s^q = 0$ trong đó $a_i(T)$ là các đa thức trong $L(T)$ sao cho $a_i \neq 0$ ; xây dựng phương trình thỏa mãn bởi

s' = s - c_0 - c_1 T^{1!} - \ldots - c_{n-1} T^{(n-1)!}

và chứng minh rằng với n đủ lớn số hạng hằng của nó là một đa thức có bậc $< n!$ , do đó dẫn đến mâu thuẫn của ta.)

(b) Cho k là một trường, X, Y, Z, T là bốn phần tử bất định, $K = k(X, Y, Z)$ và E là một bao đóng đại số của $k(X)$ ; trong E, với mọi n, ký hiệu $x_n$ là một phần tử sao cho $x_n^n = X$ . Trong trường các chuỗi lũy thừa hình thức $E((T))$ , xét phần tử

s = x_1 T + x_2 T^{2!} + \ldots + x_n T^{n!} + \ldots

Các phần tử s và T độc lập đại số trên E theo (a). Xét đồng cấu $f : K \to E((T))$ sao cho $f(X) = X, f(Y) = T, f(Z) = s$ . Nếu v là định giá rời rạc trên $E((T))$ được xác định bởi cấp của các chuỗi lũy thừa hình thức (no. 3, Ví dụ 3), thì $v \circ f$ là một định giá rời rạc trên $K$ ; chứng minh rằng trường thặng dư của $v \circ f$ là trường con $k(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots)$ của E và do đó là vô hạn trên k.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.