Exercice 1, § 3

a) Soient $L$ un corps, $T$ une indéterminée; dans le corps des séries formelles $L((T))$, on considère la série

où les $c_i \in L$ sont tous $\neq 0$. Montrer que $s$ est transcendant sur le sous-corps $L(T)$ de $L((T))$. (Raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe une relation $a_0(T) + a_1(T)s + \cdots + a_q(T)s^q = 0$ où les $a_i(T)$ sont des polynômes de $L(T)$ tels que $a_q \neq 0$; former l’équation vérifiée par $s' = s - c_0 - c_1 T^{1!} - \cdots - c_{n-1} T^{(n-1)!}$, et montrer que pour $n$ assez grand son terme constant est un polynôme de degré $< n!$, d’où contradiction).

b) Soient $k$ un corps, $X, Y, Z, T$ quatre indéterminées, $K = k(X, Y, Z)$, $E$ une clôture algébrique de $k(X)$; dans $E$, pour tout $n$, on désigne par $x_n$ un élément tel que $x_n^n = X$. Dans le corps de séries formelles $E((T))$, on considère l’élément

Les éléments $s$ et $T$ sont algébriquement indépendants sur $E$ en vertu de a). On considère l’homomorphisme $f : K \to E((T))$ tel que $f(X) = X, f(Y) = T, f(Z) = s$. Si $v$ est la valuation discrète sur $E((T))$ définie par l’ordre des séries formelles (no 3, Exemple 3), $v \circ f$ est une valuation discrète sur $K$; montrer que le corps résiduel de $v \circ f$ est le sous-corps $k(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots)$ de $E$ et est donc de degré infini sur $k$.