Bài tập 2, § 3

Cho $\Gamma$ là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần và $k$ là một trường.

(a) Cho $A, B$ là hai tập con của $\Gamma$ được sắp thứ tự tốt bởi thứ tự cảm sinh; hãy chứng minh rằng tập hợp $A + B$ được sắp thứ tự tốt và rằng, với mọi $y \in A + B$, tập hợp các cặp có thứ tự $(a, \beta) \in A \times B$ sao cho $a + \beta = y$ là hữu hạn. (Để chứng minh mệnh đề thứ nhất, hãy lập luận bằng phản chứng bằng cách chỉ ra rằng nếu không thì có thể định nghĩa một dãy giảm nghiêm ngặt $(y_i)$ gồm các phần tử của $A + B$ sao cho $\gamma_n = a_n + \beta_n$, trong đó $a_n \in A, \beta_n \in B$, dãy $(a_n)$ là tăng ngặt và dãy $(\beta_n)$ là giảm ngặt; kết luận bằng cách sử dụng Lý thuyết tập hợp, Chương 111, § 4, Bài tập 3.)

(b) Cho $S(\Gamma, k)$ là tập hợp các họ $x = (x_\alpha)_{\alpha \in \Gamma}$ sao cho $x_\alpha \in k$ với mọi $\alpha \in \Gamma$ và tập hợp các $a$ mà $x_\alpha \neq 0$ là một tập con sắp thứ tự của $\Gamma$. Chứng minh rằng $S(\Gamma, k)$ là một nhóm con cộng tính của $k^\Gamma$; hơn nữa, nếu $x = (x_\alpha), y = (y_\alpha)$ là hai phần tử của $S(\Gamma, k)$, tập hợp $C$ gồm các $a + \beta$ ứng với các cặp có thứ tự $(a, \beta)$ sao cho $x_\alpha \neq 0$ và $y_\alpha \neq 0$ là có thứ tự tốt theo (a) và, với mọi $y \in C$, phần tử $z_y = \sum_{\alpha + \beta = y} x_\alpha y_\beta$ được xác định trong $k$; nếu ta viết $z_\gamma = 0$ với $a \notin C$, phần tử $z = (z_\alpha) \in k^\Gamma$ thuộc về $S(\Gamma, k)$; nó được ký hiệu là $xy$. Chứng minh rằng với luật hợp thành và phép cộng này trên nhóm tích $k^\Gamma$, tập hợp $S(\Gamma, k)$ là một trường; hơn nữa, với mọi $x = (x_\alpha) \neq 0$ của $S(\Gamma, k)$, gọi $\lambda$ là phần tử nhỏ nhất của các $a \in \Gamma$ sao cho $x_\alpha \neq 0$; nếu ta viết $v(x) = \lambda$ (và $v(0) = +\infty$), chứng minh rằng $v$ là một giá trị trên $S(\Gamma, k)$ với $k$ là trường thặng dư và $\Gamma$ là nhóm giá trị. $v$ được gọi là giá trị chính tắc trên trường $S(\Gamma, k)$. Trường $k$ được đồng nhất một cách chính tắc với một trường con của $S(\Gamma, k)$. Với mọi $a \in \Gamma$, gọi $u_a$ là phần tử $(x_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$ sao cho $x_\alpha = 1, x_\lambda = 0$ với $\lambda \neq a$; với mọi $z \neq 0$ trong $S(\Gamma, k)$, khi đó có một cặp có thứ tự duy nhất $(t, a) \in k \times \Gamma$ sao cho $v(z) = \alpha$ và $v(z - tu_a) > a$. $tu_a$ được gọi là số hạng trội của $z$.