Exercice 2, § 3

Soient $\Gamma$ un groupe totalement ordonné, $k$ un corps.

a) Soient $A, B$ deux parties de $\Gamma$ bien ordonnées par l’ordre induit; montrer que l’ensemble $A + B$ est bien ordonné et que, pour tout $\gamma \in A + B$, l’ensemble des couples $(\alpha, \beta) \in A \times B$ tels que $\alpha + \beta = \gamma$ est fini. (Pour prouver la première assertion, raisonner par l’absurde, et montrer qu’on pourrait alors définir une suite strictement décroissante $(\gamma_n)$ d’éléments de $A + B$ telle que $\gamma_n = \alpha_n + \beta_n$, où $\alpha_n \in A$, $\beta_n \in B$, la suite $(\alpha_n)$ est strictement croissante et la suite $(\beta_n)$ strictement décroissante; conclure à l’aide d’Ens., chap. III, § 4, exerc. 3).

b) Soit $S(\Gamma, k)$ l’ensemble des familles $x = (x_\alpha)_{\alpha \in \Gamma}$ telles que $x_\alpha \in k$ pour tout $\alpha \in \Gamma$ et que l’ensemble des $\alpha$ pour lesquels $x_\alpha \neq 0$ soit une partie bien ordonnée de $\Gamma$. Montrer que $S(\Gamma, k)$ est un sousgroupe additif de $k^\Gamma$; en outre, si $x = (x_\alpha)$, $y = (y_\alpha)$ sont deux éléments de $S(\Gamma, k)$, l’ensemble $C$ des $\alpha + \beta$, pour les couples $(\alpha, \beta)$ tels que $x_\alpha \neq 0$ et $y_\beta \neq 0$, est bien ordonné d’après a), et, pour tout $\gamma \in C$, l’élément $z_\gamma = \sum_{\alpha+\beta=\gamma} x_\alpha y_\beta$ est défini dans $k$; si l’on pose $z_\alpha = 0$ pour $\alpha \notin C$, l’élément $z = (z_\alpha) \in k^\Gamma$ appartient à $S(\Gamma, k)$; on le note $xy$. Montrer que pour cette loi de composition et l’addition du groupe produit $k^\Gamma$, l’ensemble $S(\Gamma, k)$ est un corps; en outre, pour tout $x = (x_\alpha) \neq 0$ de $S(\Gamma, k)$, soit $\lambda$ le plus petit des $\alpha \in \Gamma$ tels que $x_\alpha \neq 0$; si l’on pose $v(x) = \lambda$ (et $v(0) = +\infty$), montrer que $v$ est une valuation sur $S(\Gamma, k)$ ayant $k$ pour corps résiduel et $\Gamma$ pour groupe des valeurs. On dit que $v$ est la valuation canonique sur le corps $S(\Gamma, k)$. Le corps $k$ s’identifie canoniquement à un sous-corps de $S(\Gamma, k)$. Pour tout $\alpha \in \Gamma$, on désigne par $u_\alpha$ l’élément $(x_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$ tel que $x_\alpha = 1$, $x_\lambda = 0$ pour $\lambda \neq \alpha$; pour tout $z \in S(\Gamma, k)$ non nul, il y a alors un couple $(t, \alpha) \in k \times \Gamma$ et un seul tel que $v(z) = \alpha$, $v(z - tu_\alpha) > \alpha$. On dit que $tu_\alpha$ est le terme dominant de $z$.