Bài tập 4, § 3

Cho A là một miền nguyên địa phương, K là trường các phân thức của nó, m là iđêan cực đại của nó và $v$ là một định giá trên K mà vành B của nó trội trên A. Giả sử rằng, hoặc m là một iđêan sinh hữu hạn, hoặc $v$ là một định giá rời rạc; khi đó tồn tại trong m một phần tử $x$ sao cho $v(x) = \inf_{y \in m} v(y)$. Gọi A' là vành con của K sinh bởi A và các phần tử $y x^{-1}$, trong đó y chạy qua m; gọi A, là vành địa phương của A' tương ứng với iđêan nguyên tố $p \cap A'$, trong đó p là iđêan của định giá $u$. Chứng minh rằng vành A, không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử $x$ thỏa mãn các điều kiện trên (A, được gọi là "biến đổi bậc hai nguyên tố của A theo hướng của $v$"); nếu A là Noether, thì A, cũng là Noether.