Exercice 4, § 3

Soient $A$ un anneau local intègre, $K$ son corps des fractions, $m$ son idéal maximal, $v$ une valuation de $K$ dont l’anneau $B$ domine $A$. On suppose, soit que $m$ est un idéal de type fini, soit que $v$ est une valuation discrète; alors il existe dans $m$ un élément $x$ tel que $v(x) = \inf_{y \in m} v(y)$. Soit $A'$ le sous-anneau de $K$ engendré par $A$ et par les éléments $yx^{-1}$, où $y$ parcourt $m$; soit $A_1$ l’anneau local de $A'$ relatif à l’idéal premier $\mathfrak{p} \cap A'$, où $\mathfrak{p}$ est l’idéal de la valuation $v$. Montrer que l’anneau $A_1$ ne dépend pas du choix de l’élément $x$ vérifiant les conditions précédentes (on dit que $A_1$ est le « premier transformé quadratique de $A$ le long de $v$ »); si $A$ est noethérien, il en est de même de $A_1$.

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