Bài tập 5, § 3

Cho $k$ là một trường và $K = k(X, Y)$ là trường các hàm hữu tỉ theo hai bất định trên $k$. Ta viết $x_1 = X, y_1 = Y$ và với $n \geq 1$ định nghĩa quy nạp các phần tử $x_n + , y_n$ và $y_n + , = x_n y_n^{-1}$ của K. (a) Viết $A_n = k[x_n, y_n]$; dãy $(A_n)$ là tăng và, nếu

$m_n$ là một iđêan cực đại của A, và $m_n = A_n \cap m_{n+1}$; trong vành $A = \bigcap_n A_n$, $m = \bigcap_n m_n$ là một iđêan cực đại. (b) Cho $v$ là định giá trên K được xác định bởi $v(X) = \rho = (1 + \sqrt{5})/2$, $v(Y) = 1$; cho B và p là vành và iđêan của $v$; chứng minh rằng $m = p \cap A$ (chú ý rằng $\rho^2 - \rho - 1 = 0$ và dùng sự kiện này để tính $v(y_n)$). Chứng minh rằng để một đơn thức $X^i Y^j$ ($i, j$ là các số nguyên dương hoặc âm) thuộc A, điều kiện cần và đủ là $\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^i + j > 0$; do đó, với mọi đơn thức $z = X^i Y^j$, hoặc $z \in A$ hoặc $1/z \in A$. (c) Chứng minh rằng $B = A_m$ (viết một phần tử $t \in B$ dưới dạng thương của hai đa thức theo X và Y và chỉ ra trong mỗi đa thức các đơn thức tại đó $v$ nhận giá trị nhỏ nhất). (d) Chứng minh rằng, với mọi $n$, $(A_{n+1})_{m_{n+1}}$ là biến đổi bậc hai nguyên tố của $(A_n)_{m_n}$ theo hướng của $v$ (Bài tập 4).