Exercice 5, § 3

Soient $k$ un corps, $K = k(X, Y)$ le corps des fractions rationnelles à 2 indéterminées sur $k$. On pose $x_1 = X, \ y_1 = Y$, et pour $n \geqslant 1$, on définit par récurrence les éléments $x_{n+1} = y_n$ et $y_{n+1} = x_n y_n^{-1}$ de $K$.

a) On pose $A_n = k[x_n, y_n]$; la suite $(A_n)$ est croissante, et si $m_n = A_n x_n + A_n y_n$, $m_n$ est un idéal maximal de $A_n$ et l’on a $m_n = A_n \cap m_{n+1}$; dans l’anneau $A = \bigcap_n A_n, m = \bigcap_n m_n$ est un idéal maximal.

b) Soit $v$ la valuation de $K$ définie par $v(X) = \rho = (1 + \sqrt{5})/2$, $v(Y) = 1$; soient $B$ et $\mathfrak{p}$ l’anneau et l’idéal de $v$; montrer que l’on a $m = \mathfrak{p} \cap A$ (remarquer que l’on a $\rho^2 - \rho - 1 = 0$, et utiliser cette remarque pour calculer $v(y_n)$). Montrer que pour qu’un monôme $X^i Y^j$ ($i, j$ entiers positifs ou négatifs) appartienne à $A$, il faut et il suffit que $i \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) + j > 0$; pour tout monôme $z = X^i Y^j$, on a donc, soit $z \in A$, soit $1/z \in A$.

c) Montrer que l’on a $B = A_m$ (écrire un élément $t \in B$ sous forme d’un quotient de deux polynômes en $X$ et $Y$, et mettre en évidence dans chacun d’eux les monômes pour lesquels $v$ prend la plus petite valeur).

d) Montrer que pour tout $n$, $(A_{n+1})_{m_{n+1}}$ est le premier transformé quadratique de $(A_n)_{m_n}$ le long de $v$ (exerc. 4).