Bài tập 6, § 3

(a) Cho A là một vành định giá. Mở rộng cho các A-môđun sinh hữu hạn các kết quả của Đại số, chương VII, § 4, no. 1 đến 4 (lý thuyết các nhân tử bất biến).

(b) Cho K là một trường, $v$ là một định giá trên K, A là vành của $v$ và $\Gamma$ là nhóm cấp của $v$. Cho $U = (\alpha_{ij})$ là một ma trận bình phương cấp $n$ với các phần tử trong A và có định thức 0; hãy chỉ ra rằng tồn tại $\lambda \in \Gamma$ sao cho, với mọi ma trận bình phương $U' = (\alpha'_{ij})$ cấp $n$ với các phần tử trong A và thỏa mãn các điều kiện $v(\alpha'_{ij} - \alpha_{ij}) > A$ đối với mọi cặp có thứ tự $(i, j)$, các nhân tử bất biến của $U'$ đều giống với các nhân tử bất biến của $U$.

(c) Với các giả thiết của (b), hãy tổng quát hóa các kết quả sau đây của Đại số, chương IX, § 5, số 1, Định lý và Bài tập 1 và § 6, Bài tập 10 (đối với bài cuối, giả sử rằng K không có đặc số 2 và rằng $v(2) = 0$).