Exercice 6, § 3

a) Soit $A$ un anneau de valuation. Étendre aux $A$-modules de type fini les résultats de Alg., chap. VII, § 4, nos 1 à 4 (théorie des facteurs invariants).

b) Soient $K$ un corps, $v$ une valuation sur $K$, $A$ l’anneau de $v$, $\Gamma$ le groupe des ordres de $v$. Soit $U = (\alpha_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à éléments dans $A$, et de déterminant 0 ; montrer qu’il existe $\lambda \in \Gamma$ tel que pour toute matrice carrée $U' = (\alpha'_{ij})$ d’ordre $n$, à éléments dans $A$, et vérifiant les conditions $v(\alpha'_{ij} - \alpha_{ij}) > \lambda$ pour tout couple $(i, j)$, les facteurs invariants de $U'$ soient les mêmes que ceux de $U$.

c) Les hypothèses étant celles de b), généraliser les résultats suivants d’Alg., chap. IX : § 5, no 1, th. 1 et exerc. 1, et § 6, exerc. 10 (pour ce dernier, on supposera que $K$ n’est pas de caractéristique 2 et que $v(2) = 0$).