Bài tập 1, § 6

Mọi phần tử z của trường p-adic $\mathbf{Q}_p$ ($p$ một số nguyên tố) có thể được viết duy nhất dưới dạng $p^h \sum_{k=0}^{\infty} c_k p^k$, trong đó $h \in \mathbf{Z}$, $c_0 \neq 0$, $0 \leq c_k < p$ với mọi $k \geq 0$ (khai triển p-adic của z).

(a) Chứng minh rằng, để $z \in \mathbf{Q}$, điều kiện cần và đủ là tồn tại hai số nguyên $m \geq 0,\ n \geq 1$ sao cho $c_{k+n} = c_k$ với mọi $k \geq m$. (Nhận xét rằng, nếu $z = a/b \in \mathbf{Q}$ trong đó $b$ không chia hết cho $p$, thì

trong đó $a_{n+1}$ là một số nguyên và dãy $|a_k|$ (giá trị tuyệt đối thông thường) bị chặn.)

(b) Giả sử rằng dãy tăng $(k_n)$ gồm các số nguyên $k$ sao cho $c_k \neq 0$ thỏa mãn $\limsup_{n \to m} (k_{n+1}/k_n) = +\infty$. Chứng minh rằng $z$ là siêu việt trên $\mathbf{Q}$. (Đối với $x \in \mathbf{Q}$, lần lượt ký hiệu $|x|$ và $|x|_p$ là giá trị tuyệt đối thông thường và một giá trị tuyệt đối p-adic. Giả sử rằng $P \in \mathbf{Z}[X]$ là một đa thức bất khả quy sao cho $P(z) = 0$; nếu $z_n = p^n \sum_{k=0}^\infty c_k p^k$, hãy chứng minh rằng $|P(z_n)/(z - z_n)|_p$ tiến tới một giới hạn $\neq 0$ khi $n$ tiến tới $+\infty$, bằng cách sử dụng công thức Taylor; sau đó thu được một mâu thuẫn từ giả thiết khi xét các giá trị tuyệt đối thông thường $|P(z_n)|$.)