Exercice 1, § 6

Tout élément z du corps $p$-adique $\mathbf{Q}_p$ ($p$ nombre premier) s’écrit d’une seule manière $p^h \sum_{k=0}^{\infty} c_k p^k$ avec $h \in \mathbf{Z},\ c_0 \neq 0,\ 0 \leq c_k < p$ pour tout $k \geq 0$ (« développement $p$-adique » de z).

a) Montrer que pour que $z \in \mathbf{Q}$, il faut et il suffit qu’il existe deux entiers $m \geqslant 0, n \geqslant 1$ tels que $c_{k+n} = c_k$ pour tout $k \geqslant m$. (Observer que si $z = a/b \in \mathbf{Q}$ où $b$ n’est pas divisible par $p$, on a

où $a_{n+1}$ est un entier, et la suite des $|a_k|$ (valeur absolue ordinaire) est bornée).

b) On suppose que la suite croissante $(k_n)$ des entiers $k$ tels que $c_k \neq 0$ soit telle que $\limsup_{n \to \infty} (k_{n+1}/k_n) = +\infty$. Montrer que $z$ est transcendant sur $\mathbf{Q}$. (Pour $x \in \mathbf{Q}$, on désigne respectivement par $|x|$ et $|x|_p$ la valeur absolue usuelle et une valeur absolue $p$-adique. Supposons que $P \in \mathbf{Z}[X]$ soit un polynôme irréductible tel que $P(z) = 0$; si $z_n = p^n \sum_{k=0}^{\infty} c_k p^k$, montrer que $|P(z_n)/(z - z_n)|_p$ tend vers une limite $\neq 0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, en utilisant la formule de Taylor; obtenir alors une contradiction avec l’hypothèse en considérant les valeurs absolues usuelles $|P(z_n)|$).