Bài tập 1, § 8

Cho $K$ là một trường và $A = K[[X, Y, Z]]$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo ba bất định trên $K$; cho $v'$ (tương ứng $v''$) là định giá trên $A$ với các giá trị trong nhóm $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ có thứ tự từ điển, sao cho $v'(X) = (1, 0)$, $v'(Y) = (0, 1)$, $v'$ là không đúng trên $K[[Z]]$ (tương ứng $v''(X) = (1, 0)$, $v''$ là không đúng trên $K[[Y]]$, $v''(Z) = (0, 1)$). Cho $\sigma$ là tự đẳng cấu của $A$ giữ bất biến $K$ và $X$ và sao cho $\sigma(Y) = Z, \sigma(Z) = Y$, nếu $B$ là vành con của $A$ gồm các phần tử bất biến dưới $\sigma$ và $E$ (tương ứng $F$) là trường phân thức của $A$ (tương ứng $B$), các định giá $v'$ và $v''$ (được mở rộng một cách chính tắc lên $E$) có cùng hạn chế $v$ lên $F$, $F$ là đầy đủ với tôpô xác định bởi $v$ và $E$ là một mở rộng bậc hai của $F$; hai định giá $v', v''$ trên $E$ là phụ thuộc nhưng không tương đương.