Exercice 1, § 8

Soient $K$ un corps, $A = K[[X, Y, Z]]$ l’anneau de séries formelles à trois indéterminées sur $K$; soit $v'$ (resp. $v''$) la valuation sur $A$ à valeurs dans le groupe $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ ordonné lexicographiquement, telle que $v'(X) = (1, 0)$, $v'(Y) = (0, 1)$, $v'(P(Z)) = (0, 0)$ pour tout $P \neq 0$ dans $K[[Z]]$ (resp. $v''(X) = (1, 0)$, $v''(Q(Y)) = (0, 0)$ pour tout $Q \neq 0$ dans $K[[Y]]$, $v''(Z) = (0, 1)$). Soit $\sigma$ l’automorphisme de $A$ laissant invariants les éléments de $K$ et $X$, et tel que $\sigma(Y) = Z$, $\sigma(Z) = Y$; si $B$ est le sous-anneau de $A$ formé des éléments invariants par $\sigma$, $E$ (resp. $F$) le corps des fractions de $A$ (resp. $B$), les valuations $v'$ et $v''$ (étendues canoniquement à $E$) ont même restriction $v$ à $F$, $F$ est complet pour la topologie définie par $v$ et $E$ est une extension quadratique de $F$; les deux valuations $v', v''$ sur $E$ sont dépendantes mais non équivalentes.