Bài tập 10, § 8

Cho w là định giá 2-adic trên trường 2-adic $\mathbf{Q}_2$; trên trường các hàm hữu tỉ $\mathbf{Q}_2(X)$ xét định giá rời rạc $v$ mở rộng $w$ và sao cho

(§ 10, no. 1, Bổ đề 1); cho K là sự hoàn thiện của $\mathbf{Q}_2(X)$ đối với định giá này và cũng ký hiệu định giá của nó bởi $v$. Cho L là trường phân rã của đa thức $(Y^2 - X)^2 - 2$ trong $K[Y]$ và cho $v'$ là định giá duy nhất trên L mở rộng $v$. Chứng minh rằng $[L : K] = 8, e(v'/v) = 4, f(v'/v) = 2$; nếu k (tương ứng $k'$) là trường thặng dư của $v$ (tương ứng $v'$), thì $k'$ là một mở rộng thuần căn của k có bậc 2; chứng minh rằng không tồn tại mở rộng con E của L sao cho $[E : K] = 2$ và trường thặng dư của hạn chế của $v'$ lên E bằng $k'$. (Tất yếu $E = K(\sqrt{\alpha})$, với $\alpha \in K$ không phải là một bình phương trong K nhưng sao cho $\alpha \equiv X \pmod{2}$; biểu diễn với sự trợ giúp của một cơ sở thích hợp của L trên $K(\sqrt{2})$ và nhận xét rằng không tồn tại trong $K(\sqrt{2})$ phần tử nào có bình phương đồng dư với X mod. 2.)