Exercice 10, § 8

Algèbre commutative, VI

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit $w$ la valuation 2-adique sur le corps 2-adique $\mathbf{Q}_2$ ; sur le corps des fractions rationnelles $\mathbf{Q}_2(X)$ , on considère la valuation discrète $v$ prolongeant $w$ et telle que

v(a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n) = \inf_i (w(a_i))

(§ 10, no 1, lemme 1); soit K le complété de

\mathbf{Q}_2(X)

pour cette valuation, et désignons encore sa valuation par

v

. Soit L le corps des racines du polynôme

(Y^2 - X)^2 - 2

K[Y]

, et soit

v'

l’unique valuation de L prolongeant

v

. Montrer que

[L : K] = 8,\ e(v'/v) = 4,\ f(v'/v) = 2

; si

k

(resp.:

k'

) est le corps résiduel de

v

(resp.

v'

k'

est une extension radicielle de

k

, de degré 2; montrer qu’il n’existe aucune sous-extension E de L telle que

[E : K] = 2

, pour laquelle le corps résiduel de la restriction de

v'

à E soit égal à

k'

. (On aurait nécessairement

E = K(\sqrt{\alpha})

, où

\alpha \in K

ne serait pas carré dans K mais tel que

\alpha \equiv X \pmod{2}

; exprimer

\sqrt{\alpha}

à l’aide d’une base convenable de L sur

K(\sqrt{2})

, et observer qu’il n’existe dans

K(\sqrt{2})

aucun élément dont le carré est congru à X mod. 2.)

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.