Bài tập 11, § 8

Cho K là một trường, L là một mở rộng Galois hữu hạn của K và $\mathscr{G}$ là nhóm Galois của nó. Cho $v$ là một định giá trên L với trường thặng dư k và nhóm cấp $\Gamma$; giả sử rằng $v$ là bất biến dưới tác động của $\mathscr{G}$ và rằng hạn chế $v|K$ có cùng trường thặng dư k với $v$, sao cho $\mathscr{G} = \mathscr{G}^Z = \mathscr{G}^\Gamma$ (ký hiệu của Bài tập 8).

(a) Cho $x \in L^*, \sigma \in \mathscr{G}$. Chứng minh rằng $x^{-1} \sigma(x)$ là một phần tử khả nghịch đối với $v$, rằng ảnh $\varepsilon_\sigma(x)$ của nó trong $k^*$ chỉ phụ thuộc vào định giá $v(x)$ và lớp của $\sigma$ modulo nhóm giao hoán tử $\mathscr{G}'$ của $\mathscr{G}$ và do đó xác định được một ánh xạ song tuyến tính trên Z (cũng ký hiệu là $\varepsilon$) $(\mathscr{G}/\mathscr{G}') \times \Gamma \to k^*$, bằng 1 trên $(\mathscr{G}/\mathscr{G}') \times v(K^*)$.

(b) Với mọi $\sigma \in \mathscr{G}$, gọi $\phi(\sigma)$ là đồng cấu $\Gamma/v(K^*) \to k^*$ biến $\varepsilon_\sigma(x)$ thành $v(x)$ với mọi $x \in L^*$; do đó xác định được một đồng cấu

Chứng minh rằng, nếu $p$ là số mũ đặc số của k, thì hạt nhân $\mathscr{N}$ của $\phi$ có cấp là một lũy thừa của $p$. (Nếu không, sẽ tồn tại một $\sigma \neq e$ trong $\mathscr{N}$ và một số nguyên tố q khác p sao cho $\sigma^q = e$; với một số nguyên x trong $L - K$, viết $\sigma(x) = x + y$, trong đó $v(y) > v(x)$, và tính $\sigma^q(x)$ để thu được một mâu thuẫn.) Suy ra rằng $\mathscr{G}$ là một nhóm giải được.

(c) Giả sử rằng $n = [L : K]$ nguyên tố cùng nhau với $p$; chứng minh rằng $\phi$ là song ánh, rằng $e(L/K) = n$ và rằng, nếu $v$ là $lcm$ của các cấp của các phần tử của $\mathscr{G}, k^*$ chứa các căn bậc $v$ của đơn vị. (Dùng (b) và Bổ đề 2 của no. 1.)