Exercice 11, § 8

Soient K un corps, L une extension galoisienne de K, de degré fini, $\mathscr{G}$ son groupe de Galois. Soit $v$ une valuation sur L, de corps résiduel $k$ et de groupe des ordres $\Gamma$; on suppose que $v$ est invariante par $\mathscr{G}$ et que la restriction $v|K$ a même corps résiduel $k$ que $v$, de sorte que $\mathscr{G} = \mathscr{G}^Z = \mathscr{G}^\Gamma$ (notations de l’exerc. 8).

a) Soient $x \in L^*, \sigma \in \mathscr{G}$. Montrer que $x^{-1}\sigma(x)$ est une unité pour $v$, que son image $\varepsilon_\sigma(x)$ dans $k^*$ ne dépend que de la valuation $v(x)$ et de la classe de $\sigma$ modulo le groupe des commutateurs $\mathscr{G}'$ de $\mathscr{G}$, et que l’on définit ainsi une application $\mathbf{Z}$-bilinéaire (encore notée $\varepsilon$) $(\mathscr{G}/\mathscr{G}') \times \Gamma \to k^*$, qui est égale à 1 dans $(\mathscr{G}/\mathscr{G}') \times v(K^*)$.

b) Pour tout $\sigma \in \mathscr{G}$, soit $\varphi(\sigma)$ l’homomorphisme $\Gamma/v(K^*) \to k^*$ faisant correspondre $\varepsilon_\sigma(x)$ à $v(x)$ pour tout $x \in L^*$; on définit ainsi un homomorphisme $\varphi : \mathscr{G} \to \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\Gamma/v(K^*), k^*)$. Montrer que, si $p$ est l’exposant caractéristique de $k$, le noyau $\mathfrak{n}$ de $\varphi$ a pour ordre une puissance de $p$. (Dans le cas contraire, il existerait un $\sigma \neq e$ dans $\mathfrak{n}$ et un nombre premier $q \neq p$ tels que $\sigma^q = e$; pour un $x$ entier dans $L - K$, écrire $\sigma(x) = x + y$ avec $v(y) > v(x)$, et calculer $\sigma^q(x)$ pour obtenir une contradiction.) En déduire que $\mathscr{G}$ est un groupe résoluble.

c) On suppose que $n = [L : K]$ soit premier à $p$; montrer que $\varphi$ est bijectif, que l’on a $e(L/K) = n$ et que si $v$ est le ppcm des ordres des éléments de $\mathscr{G}$, $k^*$ contient les racines $v$-èmes de l’unité. (Utiliser b) et le lemme 2 du no 1).