Bài tập 13, § 8

(a) Cho K là một trường và $v$ là một định giá không tầm thường trên K. Cho E là một tập hợp được lọc bởi một siêu lọc $\mathscr{U}$ và $\xi \mapsto x_\xi, \xi \mapsto y_\xi$ là hai ánh xạ từ E vào K với tôpô $\mathscr{T}_v$. Chứng minh rằng, nếu ánh xạ $\xi \mapsto x_\xi y_\xi$ hội tụ về 0 trong K đối với $\mathscr{U}$, thì một trong hai ánh xạ $\xi \mapsto x_\xi, \xi \mapsto y_\xi$ cũng vậy. (Nhận xét rằng, nếu $\xi \mapsto x_\xi$ không có điểm tụ đối với $\mathfrak{U}$, thì ánh xạ $z \mapsto x_\xi^{-1}$ bị chặn trên một tập con của U.)

(b) Cho $f$ là một đa thức không hằng trong $K[X]$. Chứng minh rằng, nếu $\xi \in f(\mathbf{K})$ hội tụ về 0 trong $K$ đối với $\mathfrak{U}$, thì $\xi \mapsto x_\xi$ hội tụ trong $\hat{K}$ (phân tích $f$ thành các nhân tử trong một mở rộng đại số của $K$ và sử dụng (a)).

(c) Giả sử rằng $K$ là đóng đại số trong $\hat{K}$. Khi đó ánh xạ $x \mapsto f(x)$ từ $K$ vào chính nó là đóng (sử dụng (b)). Suy ra rằng, nếu $g$ là một hàm hữu tỉ trong $K(X)$ và $B$ là một tập con đóng bị chặn của K, thì $g(B - P)$ (trong đó $P$ là tập hợp các cực của $g$ trong $B$) là đóng trong K.

(d) Giả sử rằng bao đóng đại số của K là một mở rộng thuần bất khả quy của K. Khi đó chứng minh rằng $\hat{K}$ là đóng đại số. (Áp dụng (b) cho một bao đóng đại số của $\hat{K}$ và một đa thức $f \in \hat{K}[X]$; cũng sử dụng Bài tập 12 (a).)