Exercice 13, § 8

a) Soient $K$ un corps, $v$ une valuation non impropre sur $K$. Soient $E$ un ensemble filtré par un ultrafiltre $U$, $\xi \to x_\xi, \xi \to y_\xi$ deux applications de $E$ dans $K$ muni de la topologie $\mathscr{T}_v$. Montrer que si l’application $\xi \to x_\xi y_\xi$ converge vers 0 dans $K$ suivant $U$, il en est de même de l’une des deux applications $\xi \to x_\xi, \xi \to y_\xi$. (Observer que si $\xi \to x_\xi$ n’a pas de valeur d’adhérence suivant $U$, l’application $z \to x_\xi^{-1}$ est bornée dans un ensemble de $U$.)

b) Soit $f$ un polynôme non constant de $K[X]$. Montrer que si $\xi \to f(x_\xi)$ converge vers 0 dans $K$ suivant $U$, $\xi \to x_\xi$ converge dans $\hat{K}$ (décomposer $f$ en facteurs dans une extension algébrique de $K$, et utiliser $a$).

c) Supposons que K soit algébriquement fermé dans $\hat{K}$. Alors l’application $x \to f(x)$ de K dans lui-même est fermée (utiliser b)). En déduire que si g est une fraction rationnelle de K(X), et B une partie fermée et bornée de K, alors $g(B - P)$ (où P est l’ensemble des pôles de g dans B) est fermé dans K.

d) Supposons que la clôture algébrique de K soit une extension radicielle de K. Montrer alors que $\hat{K}$ est algébriquement clos. (Appliquer b) à une clôture algébrique de $\hat{K}$ et à un polynôme $f \in \hat{K}[X]$; utiliser aussi l’exerc. 12 a).)