Bài tập 14, § 8

(a) Để một trường $K$ là Henselian với một định giá $v$, điều kiện cần và đủ là $K$ là mở rộng đại số tách được lớn nhất của $K$ được chứa trong $\hat{K}$ và $\hat{K}$ là Henselian. (Để thấy rằng điều kiện này là cần, sử dụng Bài tập 12 (b); để chứng minh rằng nó là đủ, nhận xét rằng, để kiểm tra điều kiện (H) của Chương III, § 4, Bài tập 3, ta có thể giới hạn sự chú ý vào trường hợp $P$ tách được trên $K$, lưu ý rằng, nếu $Q$ là một nhân tử bất khả quy của $P$ trong $\hat{K}[X]$ sao cho $Q^{p^e}$ thuộc về $K[X]$, thì $Q$ là một ước chung lớn nhất của $P$ và $Q^{p^e}$ trong $\hat{K}[X]$.) Xét trường hợp $v$ có chiều cao 1 (xem Bài tập 6 (b)).

(b) Suy ra từ (a) rằng tồn tại trong trường $p$-adic $\mathbf{Q}$ một trường con đếm được Henselian với định giá $p$-adic.

(c) Cho một ví dụ về một trường $K$ Henselian với một định giá rời rạc nhưng không đầy đủ và sao cho $\hat{K}$ là một mở rộng radicial hữu hạn của $K$ (xem Chương V, § 1, Bài tập 20).