Exercice 14, § 8

a) Pour qu’un corps K soit hensélien pour une valuation $v$, il faut et il suffit que K soit la plus grande extension algébrique et séparable de K contenue dans $\hat{K}$ et que $\hat{K}$ soit hensélien. (Pour voir que la condition est nécessaire, utiliser l’exerc. 12 b); pour montrer qu’elle est suffisante, observer que, pour vérifier la condition (H) du chap. III, § 4, exerc. 3, on peut se borner au cas où P est séparable sur K, en notant que si Q est un facteur irréductible de P dans $\hat{K}[X]$ tel que $Q^{p^e}$ appartienne à K[X], alors Q est un p.g.c.d. de P et de $Q^{p^e}$ dans $\hat{K}[X]$.) Cas où $v$ est de hauteur 1 (cf. exerc. 6 b)).

b) Déduire de a) qu’il existe dans le corps $p$-adique $\mathbf{Q}_p$ un sous-corps dénombrable hensélien pour la valuation $p$-adique.

c) Donner un exemple de corps hensélien K pour une valuation discrète, non complet et tel que $\hat{K}$ soit une extension radicielle de degré fini de K (cf. chap. V, § 1, exerc. 20).