Bài tập 17, § 8

Cho K là một trường Hensel với một định giá v không đóng đại số, và L là một trường con của K sao cho $[K: L]$ là hữu hạn. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này L là Hensel với hạn chế của v. (Trong trường hợp ngược lại, sẽ tồn tại hai mở rộng $v_1, v_2$ của $v|L$ lên một bao đóng đại số $\Omega$ của K sao cho hạn chế của $v_1$ và $v_2$ lên một mở rộng đại số hữu hạn L' của L sẽ không tương đương. Suy ra rằng sẽ tồn tại trên một mở rộng quasi-Galois hữu hạn thích hợp K' của L chứa K, hai định giá $v'_1, v'_2$ không tương đương và sao cho K' là Hensel; sử dụng Bài tập 15 (c), chứng minh rằng, nếu $E = L^{p^{-\infty}}$ ($p$ là số mũ đặc số của R), $E \neq \Omega$ nhưng $\Omega$ sẽ là một mở rộng hữu hạn của E; hoàn thành lập luận với sự trợ giúp của Đại số, Chương VI, § 2, Bài tập 31.)