Exercice 17, § 8

Soient $K$ un corps hensélien pour une valuation $v$, non algébriquement clos, $L$ un sous-corps de $K$ tel que $[K : L]$ soit fini. Montrer que dans ces conditions $L$ est hensélien pour la restriction de $v$. (Dans le cas contraire, il existerait deux prolongements $v_1, v_2$ de $v|L$ à une clôture algébrique $\Omega$ de $K$ tels que les restrictions de $v_1$ et $v_2$ à une extension algébrique $L'$ de $L$, de degré fini, seraient non équivalentes. En déduire qu’il existerait sur une extension quasi-galoisienne convenable $K'$ de $L$, contenant $K$ et de degré fini sur $L$, deux valuations $v'_1, v'_2$ non équivalentes, pour lesquelles $K'$ serait hensélien; utilisant l’exerc. 15 c), montrer que si $E = L^{p^{-\infty}}$ ($p$ étant l’exposant caractéristique de $\Omega$), on aurait $E \neq \Omega$ mais $\Omega$ serait une extension de degré fini de $E$; terminer le raisonnement à l’aide d’Alg., chap. VI, 2e éd., § 2 exerc. 31.)