Bài tập 18, § 8

Cho K là một trường Hensel với một định giá v, k là trường thặng dư của v và giả sử rằng mọi mở rộng đại số hữu hạn của k đều cyclic trên k (chẳng hạn đây là trường hợp khi k là hữu hạn). Cho A là vành của v và f $\in A[X]$ là một đa thức đơn khởi sao cho, nếu $(X) = (X - \alpha_1) \ldots (X - a_n)$, trong đó các $\alpha_i$ thuộc một bao đóng đại số của K, phần tử $D = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j)^2$ của A ("discriminant" off) là sao cho $v(D) = 0$. Cho $\tilde{f}_j$ ($1 \leq j \leq s$) là các nhân tử bất khả quy của ảnh chính tắc $\tilde{f}$ của f trong $k[X]$ và cho $r_j$ là bậc của $\tilde{f}_j$. Chứng minh rằng nhóm Galois trên K của trường phân rã của f, được xem như một nhóm các phép hoán vị của các a, được sinh bởi một phép hoán vị $\sigma$ phân tích thành các chu trình có các độ dài tương ứng $r_1, r_2, \ldots, r_s$ (nhận xét rằng chỉ tồn tại một mở rộng duy nhất của k với bậc đã cho, sai khác bởi một đẳng cấu k). Suy ra rằng, để D là một bình phương trong A, điều kiện cần và đủ là $n - s$ là chẵn ("Định lý Stickelberger"; xét điều kiện nào thì D bất biến dưới $\sigma$).