Exercice 18, § 8

Soient $K$ un corps hensélien pour une valuation $v$, $k$ le corps résiduel de $v$, et supposons que toute extension algébrique de degré fini de $k$ soit cyclique sur $k$ (ce qui est par exemple le cas lorsque $k$ est fini). Soient $A$ l’anneau de $v$, $f \in A[X]$ un polynôme unitaire, tel que, si $f(X) = (X - \alpha_1) \ldots (X - \alpha_n)$, où les $\alpha_i$ appartiennent à une clôture algébrique de $K$, l’élément $D = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j)^2$ de $A$ (« discriminant » de $f$) soit tel que $v(D) = 0$. Soient $\bar{f}_j (1 \leq j \leq s)$ les facteurs irréductibles de l’image canonique $\bar{f}$ de $f$ dans $k[X]$, et soit $r_j$ le degré de $\bar{f}_j$. Montrer que le groupe de Galois sur $K$ du corps des racines de $f$, considéré comme groupe de permutations des $\alpha_i$, est engendré par une permutation $\sigma$ qui se décompose en cycles de longueurs respectives $r_1, r_2, \ldots, r_s$ (observer qu’il n’existe qu’une seule extension de $k$ d’un degré donné, à un $k$-isomorphisme près). En déduire que, pour que $D$ soit un carré dans $A$, il faut et il suffit que $n - s$ soit pair (« théorème de Stickelberger »; examiner à quelle condition $\sqrt{D}$ est invariant par $\sigma$).