Bài tập 3, § 8

Cho $k$ là trường các hàm hữu tỉ $\mathbf{F}_p(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ trong một vô hạn các bất định trên trường nguyên tố $\mathbf{F}$, và cho $K = k(U, V)$ là trường các hàm hữu tỉ theo hai bất định trên $k$.

(a) Chứng minh rằng phần tử $P(U) = \sum_{n=0}^\infty X_n^p U^{np}$ của trường các chuỗi lũy thừa hình thức $k((U))$ không đại số trên trường $k(U)$ các hàm hữu tỉ. Ánh xạ $F(U, V) \mapsto F(U, P(U))$ từ $k[U, V]$ vào $k((U))$ có thể được mở rộng thành một đẳng cấu của $K$ lên một trường con của $k((U))$; hạn chế của định giá trên trường con này, bằng cấp của chuỗi lũy thừa hình thức (§ 3, no. 3, Ví dụ 3 ), là một định giá rời rạc $v$ trên $K$, có trường thặng dư là $k$.

(b) Cho $K'$ là mở rộng đại số $K(V^{1/p})$ của $K$ sao cho $[K': K] = p$; nếu $v'$ là định giá duy nhất trên $K'$ mở rộng $v$, chứng minh rằng $e(v'/v) = f(v'/v) = 1$. Vành của định giá $v'$ do đó không là một môđun hữu hạn sinh trên vành của định giá $v$.