Exercice 3, § 8

Soit $k$ le corps de fractions rationnelles $F_p(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ à une infinité d’indéterminées sur le corps premier $F_p$, et soit $K = k(U, V)$ le corps des fractions rationnelles à deux indéterminées sur $k$.

a) Montrer que l’élément $P(U) = \sum_{n=0}^\infty X_n^p U^{np}$ du corps de séries formelles $k((U))$ n’est pas algébrique sur le corps $k(U)$ des fractions rationnelles. L’application $F(U, V) \to F(U, P(U))$ de $k[U, V]$ dans $k((U))$ se prolonge en un isomorphisme de $K$ sur un sous-corps de $k((U))$; la restriction à ce sous-corps de la valuation de $k((U))$ égale à l’ordre des séries formelles (§ 3, no 3, Exemple 3) est une valuation discrète $v$ sur $K$, dont le corps résiduel est $k$.

b) Soit $K'$ l’extension algébrique $K(V^{1/p})$ de $K$, de sorte que $[K': K] = p$; si $v'$ est l’unique valuation pour $K'$ prolongeant $v$, montrer que l’on a $e(v'/v) = f(v'/v) = 1$. L’anneau de la valuation $v'$ n’est donc pas un module de type fini sur l’anneau de la valuation $v$.